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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2012

6 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
10 puntos
Sea el sistema de ecuaciones S:{x−2y−3z=03x+10y−z=0x+14y+αz=0S : \begin{cases} x - 2y - 3z = 0 \\ 3x + 10y - z = 0 \\ x + 14y + \alpha z = 0 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a)4 pts
La solución del sistema SS cuando α=0\alpha = 0.
b)4 pts
El valor de α\alpha para el que el sistema SS tiene infinitas soluciones.
c)2 pts
Todas las soluciones del sistema SS cuando se da a α\alpha el valor obtenido en el apartado b).
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
10 puntos
Se dan las matrices A=(1−111)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, U=(1001)U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y BB, donde BB es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación B2=−7B+UB^2 = -7B + U. Obtener razonadamente:
a)4 pts
Los números reales aa y bb tales que A2=aA+bUA^2 = aA + bU.
b)4 pts
Los números reales pp y qq tales que B−1=pB+qUB^{-1} = pB + qU, justificando que la matriz BB tiene inversa.
c)2 pts
Obtener los valores xx e yy para los que se verifica que B3=xB+yUB^3 = xB + yU.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
10 puntos
En el espacio se tiene la recta r:{x+y−z=1x−y−z=0r : \begin{cases} x + y - z = 1 \\ x - y - z = 0 \end{cases} y el plano π:x+mz=0\pi : x + mz = 0, donde mm es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a)2 pts
Un vector director de la recta rr.
b)2 pts
El valor de mm para el que la recta rr y el plano π\pi son perpendiculares.
c)3 pts
El valor de mm para el que la recta rr y el plano π\pi son paralelos.
d)3 pts
La distancia entre rr y π\pi cuando se da a mm el valor obtenido en el apartado c).
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
10 puntos
En el espacio se dan los planos π\pi, σ\sigma y τ\tau de ecuaciones: π:2x−y+z=3;σ:x−y+z=2;τ:3x−y−az=b,\pi : 2x - y + z = 3; \quad \sigma : x - y + z = 2; \quad \tau : 3x - y - az = b, siendo aa y bb parámetros reales, y la recta rr intersección de los planos π\pi y σ\sigma. Obtener razonadamente:
a)3 pts
Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta rr.
b)4 pts
La ecuación del plano que contiene a la recta rr y pasa por el punto (2,1,3)(2, 1, 3).
c)3 pts
Los valores de aa y de bb para que el plano τ\tau contenga a la recta rr, intersección de los planos π\pi y σ\sigma.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
10 puntos
Se definen las funciones ff y gg por f(x)=−x2+2xf(x) = -x^2 + 2x y g(x)=x2g(x) = x^2. Obtener razonadamente:
a)2 pts
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones.
b)2 pts
El máximo relativo de la función f(x)=−x2+2xf(x) = -x^2 + 2x y el mínimo relativo de g(x)=x2g(x) = x^2.
c)2 pts
Los puntos de intersección de las curvas y=−x2+2xy = -x^2 + 2x e y=x2y = x^2.
d)4 pts
El área encerrada entre las curvas y=−x2+2xy = -x^2 + 2x e y=x2y = x^2, donde en ambas curvas la xx varía entre 00 y 11.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
10 puntos
Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 m3100\,\text{m}^3 de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio xx y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. Obtener razonadamente:
a)1 pts
El área de la base en función de su radio xx.
b)2 pts
El área de la pared vertical del cilindro en función de xx.
c)2 pts
La función f(x)f(x) que da el coste del depósito.
d)5 pts
El valor xx del radio de la base para el que el coste del depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo.
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