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la cuevadel empollón
Matemáticas IIComunidad ValencianaPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · Comunidad Valenciana 2012

3 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Se elegirá solo UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Cada estudiante podrá disponer de una calculadora científica o gráfica. Se prohíbe su utilización indeguda (guardar fórmulas o texto en memoria). Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Sea el sistema de ecuaciones S:{x−2y−3z=03x+10y−z=0x+14y+αz=0S : \begin{cases} x - 2y - 3z = 0 \\ 3x + 10y - z = 0 \\ x + 14y + \alpha z = 0 \end{cases}, donde α\alpha es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a
La solución del sistema SS cuando α=0\alpha = 0.4 pts
b
El valor de α\alpha para el que el sistema SS tiene infinitas soluciones.4 pts
c
Todas las soluciones del sistema SS cuando se da a α\alpha el valor obtenido en el apartado b).2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
En el espacio se tiene la recta r:{x+y−z=1x−y−z=0r : \begin{cases} x + y - z = 1 \\ x - y - z = 0 \end{cases} y el plano π:x+mz=0\pi : x + mz = 0, donde mm es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a
Un vector director de la recta rr.2 pts
b
El valor de mm para el que la recta rr y el plano π\pi son perpendiculares.2 pts
c
El valor de mm para el que la recta rr y el plano π\pi son paralelos.3 pts
d
La distancia entre rr y π\pi cuando se da a mm el valor obtenido en el apartado c).3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se definen las funciones ff y gg por f(x)=−x2+2xf(x) = -x^2 + 2x y g(x)=x2g(x) = x^2. Obtener razonadamente:
a
Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de cada una de esas dos funciones.2 pts
b
El máximo relativo de la función f(x)=−x2+2xf(x) = -x^2 + 2x y el mínimo relativo de g(x)=x2g(x) = x^2.2 pts
c
Los puntos de intersección de las curvas y=−x2+2xy = -x^2 + 2x e y=x2y = x^2.2 pts
d
El área encerrada entre las curvas y=−x2+2xy = -x^2 + 2x e y=x2y = x^2, donde en ambas curvas la xx varía entre 00 y 11.4 pts
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Se dan las matrices A=(1−111)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, U=(1001)U = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} y BB, donde BB es una matriz de dos filas y dos columnas que no tiene ningún elemento nulo y que verifica la relación B2=−7B+UB^2 = -7B + U. Obtener razonadamente:
a
Los números reales aa y bb tales que A2=aA+bUA^2 = aA + bU.4 pts
b
Los números reales pp y qq tales que B−1=pB+qUB^{-1} = pB + qU, justificando que la matriz BB tiene inversa.4 pts
c
Obtener los valores xx e yy para los que se verifica que B3=xB+yUB^3 = xB + yU.2 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
En el espacio se dan los planos π\pi, σ\sigma y τ\tau de ecuaciones:π:2x−y+z=3;σ:x−y+z=2;τ:3x−y−az=b,\pi : 2x - y + z = 3; \quad \sigma : x - y + z = 2; \quad \tau : 3x - y - az = b,siendo aa y bb parámetros reales, y la recta rr intersección de los planos π\pi y σ\sigma. Obtener razonadamente:
a
Un punto, el vector director y las ecuaciones de la recta rr.3 pts
b
La ecuación del plano que contiene a la recta rr y pasa por el punto (2,1,3)(2, 1, 3).4 pts
c
Los valores de aa y de bb para que el plano τ\tau contenga a la recta rr, intersección de los planos π\pi y σ\sigma.3 pts
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Se desea construir un depósito cilíndrico de 100 m3100\,\text{m}^3 de capacidad, abierto por la parte superior. Su base es un círculo en posición horizontal de radio xx y la pared vertical del depósito es una superficie cilíndrica perpendicular a su base. Obtener razonadamente:
Datos
  • El precio del material de la base del depósito es 4 euros/m24\,\text{euros/m}^2
  • El precio del material de la pared vertical es 2 euros/m22\,\text{euros/m}^2
a
El área de la base en función de su radio xx.1 pt
b
El área de la pared vertical del cilindro en función de xx.2 pts
c
La función f(x)f(x) que da el coste del depósito.2 pts
d
El valor xx del radio de la base para el que el coste del depósito es mínimo y el valor de dicho coste mínimo.5 pts
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