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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2014Extraordinaria

Matemáticas II · Aragón 2014

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Sean AA y BB matrices 2×22 \times 2. Determine dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones:A+3B=(−4−23−4)A + 3 B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}2A−B=(−13−1−1)2 A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}1,5 pts
b
Sean CC y DD las matrices:C=(1110),D=(2201)C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}Determine el determinante: ∣5(CD)−1∣| 5 ( C D ) ^ { - 1 } |, donde (CD)−1( C D ) ^ { - 1 } es la matriz inversa de CDCD.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Determine el valor o valores de mm, si existen, para que la rectar:{mx+y=2x+mz=3r: \begin{cases} m x + y = 2 \\ x + m z = 3 \end{cases}sea paralela al plano:π:2x−y−z+6=0\pi : 2 x - y - z + 6 = 01,5 pts
b
Determine la distancia del punto P=(2,1,1)P = ( 2 , 1 , 1 ) a la recta rr cuando m=2m = 2.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considere la función:f(x)=x22x−6f(x) = \frac{x^2}{2x - 6}
a
Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de esa función.1,25 pts
b
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de esa función.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
La derivada de una función f(x)f(x) es:(x−1)3(x−3)(x - 1)^3 (x - 3)Determine la función f(x)f(x) sabiendo que f(0)=1f(0) = 1.1,25 pts
b
Determine el límite:lim⁡x→+∞(x3+2x+2x3+1)3x2+x+1\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3 + 2x + 2}{x^3 + 1}\right)^{3x^2 + x + 1}1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Determine para qué valores de aa el sistema que aparece a continuación es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.{ax−3y+6z=3ax+3y+az=6−ax−6y+9z=0\begin{cases} a x - 3 y + 6 z = 3 \\ a x + 3 y + a z = 6 \\ - a x - 6 y + 9 z = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Estudie la posición relativa de los planos:π:x−y−z=0\pi : x - y - z = 0π′:{x=3+2λ−μy=1+λ+μz=μ\pi' : \begin{cases} x = 3 + 2 \lambda - \mu \\ y = 1 + \lambda + \mu \\ z = \mu \end{cases}1,5 pts
b
Determine la ecuación de la recta perpendicular a π\pi que pasa por el punto P=(1,0,1)P = ( 1 , 0 , 1 ). Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Considere la función:f(x)={x2si x<22x+asi 2≤x≤4−x2+3x+bsi x>4f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 2 \\ 2x + a & \text{si } 2 \leq x \leq 4 \\ -x^2 + 3x + b & \text{si } x > 4 \end{cases}Determine los valores de aa y bb para que la función sea continua.1,25 pts
b
Supongamos ahora que a=0a = 0. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de f(x)f(x) en x=2x = 2.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Dadas las funciones f(x)=x2f(x) = x^2 y g(x)=−x2+2g(x) = -x^2 + 2, determine el área encerrada entre ambas funciones.1,25 pts
b
Calcule la integral:∫23x3x2−2x+1dx\int_{2}^{3} \frac{x^3}{x^2 - 2x + 1} dx1,25 pts
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