Matemáticas II · Aragón 2014

Sean $A$ y $B$ matrices $2 \times 2$. Determine dichas matrices sabiendo que verifican las siguientes ecuaciones: $$A + 3 B = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ 3 & -4 \end{pmatrix}$$ $$2 A - B = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Sean $C$ y $D$ las matrices: $$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Determine el determinante: $| 5 ( C D ) ^ { - 1 } |$, donde $( C D ) ^ { - 1 }$ es la matriz inversa de $CD$.

Determine el valor o valores de $m$, si existen, para que la recta $$r: \begin{cases} m x + y = 2 \\ x + m z = 3 \end{cases}$$ sea paralela al plano: $$\pi : 2 x - y - z + 6 = 0$$

Determine la distancia del punto $P = ( 2 , 1 , 1 )$ a la recta $r$ cuando $m = 2$.

Estudie la posición relativa de los planos: $$\pi : x - y - z = 0$$ $$\pi' : \begin{cases} x = 3 + 2 \lambda - \mu \\ y = 1 + \lambda + \mu \\ z = \mu \end{cases}$$

Determine la ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $P = ( 1 , 0 , 1 )$. Escriba la ecuación de la recta como intersección de dos planos.

Determine el dominio y las asíntotas, si existen, de esa función.

Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos relativos, si existen, de esa función.

Considere la función: $$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x < 2 \\ 2x + a & \text{si } 2 \leq x \leq 4 \\ -x^2 + 3x + b & \text{si } x > 4 \end{cases}$$ Determine los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua.

Supongamos ahora que $a = 0$. Usando la definición de derivada, estudie la derivabilidad de $f(x)$ en $x = 2$.

La derivada de una función $f(x)$ es: $$(x - 1)^3 (x - 3)$$ Determine la función $f(x)$ sabiendo que $f(0) = 1$.

Determine el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3 + 2x + 2}{x^3 + 1}\right)^{3x^2 + x + 1}$$

Dadas las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = -x^2 + 2$, determine el área encerrada entre ambas funciones.

Calcule la integral: $$\int_{2}^{3} \frac{x^3}{x^2 - 2x + 1} dx$$