Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2023

Determina las condiciones que tienen que cumplir los valores $a, b, c$ para que $A \cdot X = B$.

Si además queremos que $X$ sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz $X$ resultante?

Enuncia el teorema de Bolzano.

Sea la función $f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10$. Utiliza el teorema de Bolzano para justificar que esta función tiene al menos una raíz en el intervalo $[0, 2]$.

¿Podría $f(x)$ tener más de una raíz en el intervalo $[0, 2]$? Justifica tu respuesta.

¿Qué deben cumplir los valores $a, b$ para que el punto $A$ esté contenido en el plano $\pi$ y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector $\vec{u} = (1, 2, 0)$?

Con los valores de $a, b$ del apartado anterior, obtén la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por el punto $A$.

Una empresa de mantenimiento da servicio a empresas de dos polígonos industriales (el polígono Campo y el polígono Llano). El $30\%$ de las reparaciones se realizan en el polígono Campo mientras que el $70\%$ se realiza en el polígono Llano. Además, en el polígono Campo el $10\%$ de las reparaciones son de tipo mecánico y el $90\%$ de tipo eléctrico. En el polígono Llano el $30\%$ de las reparaciones son de tipo mecánico y el resto de tipo eléctrico.

El famoso piloto de carreras Fernando Osnola es capaz de completar una vuelta a un circuito en un tiempo que sigue una distribución normal de media $1{,}5$ minutos y desviación típica $0{,}15$ minutos.

Calcula la siguiente integral: $$\int \frac{dx}{(1 - 3x)^{1/2} - (1 - 3x)^{2/3}}$$ Puedes utilizar el cambio de variable $1 - 3x = t^6$.

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. Sin calcular $A^{-1}$, razona por qué $A^{-1}$ existe y discute si la matriz $A^{-1} \cdot B$ tiene inversa.

Calcula el siguiente límite: $$\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{5x + 1}{5x}\right)^{x^2}$$

Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto $A(2, 1, 3)$ y cuyo vector director es perpendicular a los vectores $\vec{u} = (2, 2, 0)$ y $\vec{v} = (0, 0, -1)$.

Sea la función $f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3$. Obtén sus máximos y mínimos relativos.

Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas sin reemplazamiento y se obtiene una puntuación igual a la suma de los valores correspondientes.

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Calcula el rango de $A$.

Sea la recta $r$ definida por la intersección de los planos $\pi_1 \equiv x + y + z = 1, \pi_2 \equiv y + 2z = 1$. Por otro lado, consideraremos el plano $\pi_3 \equiv 2x + y = 1$. Determina la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi_3$. El resultado del apartado anterior te puede ayudar.