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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El estudiante deberá resolver CUATRO de los ocho ejercicios propuestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matrices X=(abc0)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & 0 \end{pmatrix}, con a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, A=(2142)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} y B=(1020)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}
a
Determina las condiciones que tienen que cumplir los valores a,b,ca, b, c para que A⋅X=BA \cdot X = B.1,5 pts
b
Si además queremos que XX sea simétrica, ¿qué se debe cumplir? ¿Cómo es la matriz XX resultante?1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Enuncia el teorema de Bolzano.0,5 pts
b
Sea la función f(x)=x3+6x2+3x−10f(x) = x^3 + 6x^2 + 3x - 10. Utiliza el teorema de Bolzano para justificar que esta función tiene al menos una raíz en el intervalo [0,2][0, 2].1 pt
c
¿Podría f(x)f(x) tener más de una raíz en el intervalo [0,2][0, 2]? Justifica tu respuesta.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sean el punto A(1,1,a)A(1, 1, a) y el plano π≡b⋅x+y+z=1\pi \equiv b \cdot x + y + z = 1, con a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}.
a
¿Qué deben cumplir los valores a,ba, b para que el punto AA esté contenido en el plano π\pi y éste tenga como vector normal uno que es perpendicular al vector u⃗=(1,2,0)\vec{u} = (1, 2, 0)?1,5 pts
b
Con los valores de a,ba, b del apartado anterior, obtén la ecuación de la recta perpendicular al plano π\pi y que pasa por el punto AA.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Una empresa de mantenimiento da servicio a empresas de dos polígonos industriales (el polígono Campo y el polígono Llano). El 30%30\% de las reparaciones se realizan en el polígono Campo mientras que el 70%70\% se realiza en el polígono Llano. Además, en el polígono Campo el 10%10\% de las reparaciones son de tipo mecánico y el 90%90\% de tipo eléctrico. En el polígono Llano el 30%30\% de las reparaciones son de tipo mecánico y el resto de tipo eléctrico.1,25 pts
a.1
¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se realice una reparación de tipo mecánico?0,5 pts
a.2
Si se ha realizado una reparación de tipo eléctrico, ¿qué probabilidad hay de que se haya realizado en el polígono Llano?0,75 pts
b
El famoso piloto de carreras Fernando Osnola es capaz de completar una vuelta a un circuito en un tiempo que sigue una distribución normal de media 1,51{,}5 minutos y desviación típica 0,150{,}15 minutos.1,25 pts
b.1
¿Cuál es la probabilidad de que complete una vuelta en menos de 1,351{,}35 minutos?0,5 pts
b.2
¿Cuál sería el tiempo exacto que es mayor que el 85,08%85{,}08\% de los tiempos realizados al completar una vuelta al circuito?0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
a
Calcula la siguiente integral:∫dx(1−3x)1/2−(1−3x)2/3\int \frac{dx}{(1 - 3x)^{1/2} - (1 - 3x)^{2/3}}Puedes utilizar el cambio de variable 1−3x=t61 - 3x = t^6.1 pt
b
Sean las matrices A=(101010200)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} y B=(100000211)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}. Sin calcular A−1A^{-1}, razona por qué A−1A^{-1} existe y discute si la matriz A−1⋅BA^{-1} \cdot B tiene inversa.1,5 pts
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
a
Calcula el siguiente límite:lim⁡x→+∞(5x+15x)x2\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\frac{5x + 1}{5x}\right)^{x^2}1 pt
b
Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto A(2,1,3)A(2, 1, 3) y cuyo vector director es perpendicular a los vectores u⃗=(2,2,0)\vec{u} = (2, 2, 0) y v⃗=(0,0,−1)\vec{v} = (0, 0, -1).1,5 pts
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
a
Sea la función f(x)=x3+3x2+x+3f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3. Obtén sus máximos y mínimos relativos.1 pt
b
Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas sin reemplazamiento y se obtiene una puntuación igual a la suma de los valores correspondientes.1,5 pts
b.1
¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación obtenida sea de 3?0,75 pts
b.2
¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea mayor de 3?0,75 pts
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
a
Sea la matriz A=(111101212101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. Calcula el rango de AA.1,25 pts
b
Sea la recta rr definida por la intersección de los planos π1≡x+y+z=1,π2≡y+2z=1\pi_1 \equiv x + y + z = 1, \pi_2 \equiv y + 2z = 1. Por otro lado, consideraremos el plano π3≡2x+y=1\pi_3 \equiv 2x + y = 1. Determina la posición relativa de la recta rr y el plano π3\pi_3. El resultado del apartado anterior te puede ayudar.1,25 pts
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