Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2021

Calcula razonadamente el determinante de $A^{\top}$, es decir, la matriz traspuesta de $A$.

Calcula razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $X \cdot A + 3 \cdot A = B$.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} x + y + z = a + 1 \\ a \cdot x + z = a - 1 \\ x - y + z = 3 \end{cases}$$

Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 0$, si es posible.

Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{2}{3 + e^x} dx$. (Cambio de variable sugerido: $e^x = t$.)

Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{-x + 1}{x^2 + 3} dx$.

Sea el punto $P(1, 0, 1)$ y la recta $r \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-1}$. Calcula razonadamente la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

Sean las rectas $s \equiv \begin{cases} x = 0 + 2\lambda \\ y = 1 - 2a\lambda \\ z = 0 + 2\lambda \end{cases}$ y $t \equiv \frac{x - 1}{a} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}$. Calcula razonadamente el valor de $a \in \mathbb{R}$ para que las dos rectas sean paralelas.

Calcula razonadamente el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $D$.

Calcula razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos $A, B$ y $C$, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto $D$.

Sea la función $f(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b$ con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la gráfica de la función pase por el punto $(1, 2)$ y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea $1$.

Sea la función $f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 1 & x < 0 \\ be^x & x \geq 0 \end{cases}$, con $a, b \in \mathbb{R}$. Determina razonadamente los valores de $a$ y $b$ para que la función sea continua y derivable en $x = 0$.

Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 2} \frac{e^{x - 2} - 1}{2x - 4}$.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 2 & \text{si } x < 1 \\ \frac{2x - 1}{x - 2} & \text{si } 1 \leq x \leq 3 \\ 2e^x & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ determina razonadamente su dominio y estudia su continuidad. En los puntos en los que no lo sea indica razonadamente el tipo de discontinuidad.

Se sabe que el $20\%$ de los usuarios de una red social nunca comparte fotografías, mientras que el otro $80\%$ sí que lo hace. Además, de los usuarios que no comparten fotografías, el $50\%$ ha comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos. De los usuarios que comparten fotografías, se sabe que el $90\%$ ha comentado alguna vez una fotografía de sus contactos. Elegimos un usuario de esta red social al azar.

Un algoritmo de reconocimiento facial es capaz de identificar de manera correcta al $80\%$ de las personas a partir de sus fotografías. Se procesan las fotografías de $4$ personas con este algoritmo.