Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2021Ordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla binomial como anexo. Instrucciones: El estudiante deberá resolver CUATRO de los ocho ejercicios propuestos. Si resuelve más, se corregirán solo los cuatro primeros. Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas. Se podrá utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntuará 2,5 puntos. Duración de la prueba: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sean las matricesA=(212011101)yB=(011101010). A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
Calcula razonadamente el determinante de A⊤A^{\top}, es decir, la matriz traspuesta de AA.1 pt
b
Calcula razonadamente la matriz XX de la ecuación matricial X⋅A+3⋅A=BX \cdot A + 3 \cdot A = B.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R}:{x+y+z=a+1a⋅x+z=a−1x−y+z=3 \begin{cases} x + y + z = a + 1 \\ a \cdot x + z = a - 1 \\ x - y + z = 3 \end{cases} 1,75 pts
b
Resuelve razonadamente el sistema anterior para a=0a = 0, si es posible.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente la siguiente integral: ∫23+exdx\int \frac{2}{3 + e^x} dx. (Cambio de variable sugerido: ex=te^x = t.)1,25 pts
b
Calcula razonadamente la siguiente integral: ∫−x+1x2+3dx\int \frac{-x + 1}{x^2 + 3} dx.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Sea el punto P(1,0,1)P(1, 0, 1) y la recta r≡x+11=y1=z−1−1r \equiv \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 1}{-1}. Calcula razonadamente la distancia del punto PP a la recta rr.1,25 pts
b
Sean las rectas s≡{x=0+2λy=1−2aλz=0+2λs \equiv \begin{cases} x = 0 + 2\lambda \\ y = 1 - 2a\lambda \\ z = 0 + 2\lambda \end{cases} y t≡x−1a=y+1−1=z−21t \equiv \frac{x - 1}{a} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 2}{1}. Calcula razonadamente el valor de a∈Ra \in \mathbb{R} para que las dos rectas sean paralelas.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Sean los puntos A(0,0,1),B(2,1,0),C(1,1,1)A(0, 0, 1), B(2, 1, 0), C(1, 1, 1) y D(1,1,2)D(1, 1, 2).
a
Calcula razonadamente el volumen del tetraedro de vértices A,B,CA, B, C y DD.1,25 pts
b
Calcula razonadamente la ecuación del plano que pasa por los puntos A,BA, B y CC, y la de la recta perpendicular a este plano y que pasa por el punto DD.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
a
Sea la función f(x)=ax3−2x2−x+bf(x) = ax^3 - 2x^2 - x + b con a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determina razonadamente los valores de aa y bb para que la gráfica de la función pase por el punto (1,2)(1, 2) y la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto sea 11.1 pt
b
Sea la función f(x)={x2−ax+1x<0bexx≥0f(x) = \begin{cases} x^2 - ax + 1 & x < 0 \\ be^x & x \geq 0 \end{cases}, con a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Determina razonadamente los valores de aa y bb para que la función sea continua y derivable en x=0x = 0.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2,5 puntos
a
Calcula razonadamente el siguiente límite: lim⁡x→2ex−2−12x−4\lim_{x \to 2} \frac{e^{x - 2} - 1}{2x - 4}.1 pt
b
Dada la funciónf(x)={x2−2si x<12x−1x−2si 1≤x≤32exsi x>3 f(x) = \begin{cases} x^2 - 2 & \text{si } x < 1 \\ \frac{2x - 1}{x - 2} & \text{si } 1 \leq x \leq 3 \\ 2e^x & \text{si } x > 3 \end{cases} determina razonadamente su dominio y estudia su continuidad. En los puntos en los que no lo sea indica razonadamente el tipo de discontinuidad.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2,5 puntos
a
Se sabe que el 20%20\% de los usuarios de una red social nunca comparte fotografías, mientras que el otro 80%80\% sí que lo hace. Además, de los usuarios que no comparten fotografías, el 50%50\% ha comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos. De los usuarios que comparten fotografías, se sabe que el 90%90\% ha comentado alguna vez una fotografía de sus contactos. Elegimos un usuario de esta red social al azar.1,25 pts
a.1
¿Qué probabilidad hay de que haya comentado alguna vez una fotografía de alguno de sus contactos?0,5 pts
a.2
Si se sabe que nunca ha comentado una fotografía de alguno de sus contactos, ¿cuál es la probabilidad de que comparta fotos?0,75 pts
b
Un algoritmo de reconocimiento facial es capaz de identificar de manera correcta al 80%80\% de las personas a partir de sus fotografías. Se procesan las fotografías de 44 personas con este algoritmo.1,25 pts
np k0.10.20.30.40.50.60.70.80.9
400.65610.40960.24010.12960.06250.02560.00810.00160.0001
10.29160.40960.41160.34560.25000.15360.07560.02560.0036
20.04860.15360.26460.34560.37500.34560.26460.15360.0486
30.00360.02560.07560.15360.25000.34560.41160.40960.2916
40.00010.00160.00810.02560.06250.12960.24010.40960.6561
b.1
¿Qué probabilidad hay de que identifique correctamente a las 44 personas de las fotografías?0,5 pts
b.2
¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente al menos a una persona?0,75 pts
Ver este ejercicio