Practica por temas

Sean las matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 2 & x & 0 \\ -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}\) y \(C = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ x & -1 \end{pmatrix}\). Se pide, justificando las respuestas: a) Determinar para qué valores de \(x\) existe la inversa de \(A \cdot B^t + 3C\), siendo \(B^t\) la matriz traspuesta de la matriz \(B\). (1.5 puntos) b) Calcular la inversa de \(A \cdot B^t\) para \(x = 1\). (0.5 puntos)

Un fabricante de automóviles produce los modelos Record y Astrid. Almacena la producción en tres naves. En la primera nave tiene 150 vehículos del modelo Record y 120 vehículos del modelo Astrid. En la segunda guarda 80 Record y 140 Astrid. Finalmente, en la tercera nave almacena 250 Record y 125 Astrid. Además, el precio de los automóviles Record es de $6.520$ €, mientras que cada Astrid vale $8.130$ €. Toda esta información está recogida en las matrices siguientes: $$A = \begin{pmatrix} 150 & 120 \\ 80 & 140 \\ 250 & 125 \end{pmatrix}, P = \begin{pmatrix} 6.520 \\ 8.130 \end{pmatrix} \text{ y } B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Al comenzar el año ponemos en marcha el estudio de la evolución de la población de un tipo de insectos. Hemos llegado a la conclusión de que esa población se ajusta a la función: $f(x) = -\frac{1}{30}x^4 + \frac{2}{5}x^3 + 7$ donde $x$ está en meses, con $0 \leq x \leq 12$ y $f(x)$ está en decenas de individuos.

En la sociedad recreativa Los Pelendones hay tres quioscos en los que se venden refrescos, bocadillos y bolsas de snacks (patatas fritas, cortezas, cacahuetes, etc.). Todos los productos del mismo tipo tienen un único precio; es decir, todos los refrescos cuestan igual y lo mismo para los bocadillos y las bolsas de snacks. A lo largo de un día de verano la distribución de ventas y los ingresos de los tres quioscos aparecen reflejados en la tabla adjunta.

Consideremos la parábola $$y = 5x - x^2 - 4$$ La recta $y = ax$ corta a la parábola en un punto $(x_0, y_0)$, e $y_0$ es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen $a, x_0$ e $y_0$?