Practica por temas

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}$ para $x \neq 1, -1$.

Halla los valores $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la gráfica de la función $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x + c}$ tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa $x = 3$.

Dada la función $f(x) = \frac{ae^{2x}}{1 + x}$, se pide:

Calcula $$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x - x \cos x - 1}{\sen x - x + 1 - \cos x}$$

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de $20\pi\,\text{m}^3$. El material para las tapas cuesta $10$ euros cada $\text{m}^2$ y el material para el resto del cilindro $8$ euros cada $\text{m}^2$. Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro que hace que el coste total sea mínimo.