Practica por temas

Calcule los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ de manera que la función $f(x)$ tenga un máximo para $x = -1$, un mínimo para $x = 3$ y pase por el punto $(0, 5)$.

Cada día, una planta productora de acero vende $x$ toneladas de acero de baja calidad e $y$ toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que $y = \frac{23 - 5x}{10 - x}$ siendo $0 < x < \frac{23}{5}$. El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:

Sean tres números reales positivos cuya suma es 90 y uno de ellos es la media de los otros dos. Determina los números de forma que el producto entre ellos sea máximo.

La función $f(x)$ es derivable y pasa por el origen de coordenadas. La gráfica de la función derivada es la que ve aquí dibujada, siendo $f'(x)$ creciente en los intervalos $(-\infty, -3]$ y $[2, +\infty)$.

Sea la función $f(x) = \left(1 + \sen \frac{\pi x}{2}\right)^x$.