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Sean $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ y $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ las funciones definidas mediante $$f(x) = |x(x - 2)| \quad \text{y} \quad g(x) = x + 4$$

Determina la función $f \colon (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ tal que $f''(x) = \frac{1}{x}$ y su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1, 1)$.

Determinar los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ para que las funciones $f(x) = ax^2 + b$ y $g(x) = x^2 + x + a$ sean tangentes en el punto de abcisa $x = -1$. Para los valores obtenidos de $a$ y $b$, calcular la recta tangente a las curvas en $x = -1$.

Resuelve los siguientes apartados: