Practica por temas

Se considera el plano $\pi$ que pasa por los puntos $P \equiv (1, 1, 3)$, $Q \equiv (2, 1, 0)$ y $R \equiv (-1, -4, -1)$. Encuentra el punto de $\pi$ que más cerca está del punto $S \equiv (-3, 1, 1)$ (o sea, el pie de la perpendicular de $S$ a $\pi$).

Dados el plano $\pi: x - y + 2z - 5 = 0$ y la recta $r: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x - y + z = 10 \end{cases}$:

En el espacio se dan los planos $\pi$, $\sigma$ y $\tau$ de ecuaciones: $$\pi : 2x - y + z = 3; \quad \sigma : x - y + z = 2; \quad \tau : 3x - y - az = b,$$ siendo $a$ y $b$ parámetros reales, y la recta $r$ intersección de los planos $\pi$ y $\sigma$. Obtener razonadamente:

Demuestre que la función polinómica $f(x) = x^3 - 3x + \sqrt{2}$ no puede tener dos raíces en el intervalo $[0, 1]$. ¿Cuántas raíces tiene en $[0, 1]$?