Practica por temas

Dadas las funciones $$f(x) = \frac{3x + \ln(x + 1)}{\sqrt{x^2 - 3}}, \qquad g(x) = (\ln x)^x, \qquad h(x) = \sen(\pi - x),$$ se pide:

Calcular el área del recinto limitado por las funciones $f$ y $g$, siendo éstas: $$f(x) = \frac{x^2}{9} + \frac{x}{3} - 2, \quad g(x) = (x - 2)^2 - 1$$ y las rectas $x = 3$, $x = 5$.

Sea $\theta$ el ángulo formado por los vectores $\vec{u} = (\lambda, 1, 0)$ y $\vec{v} = (1, \mu, 0)$ donde $\lambda$ y $\mu$ son números reales.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola $y = 3x - x^2$ y su recta normal en el punto $(3, 0)$. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad).

Análisis: a) Si f(x) = ae^x + b, diga qué valores deben tener a y b para que se cumplan f(0) = 0 y lim(x→0) f(x)/x = 3. b) Estudie si la función f(x) = x + sin x tiene extremos o puntos de inflexión en el intervalo (0, 2π), diga dónde están en caso de que existan y esboce la gráfica de f en ese intervalo.