Practica por temas

Queremos construir un pequeño cobertizo de madera de $6\,\text{m}^3$ de volumen, en forma de prisma rectangular, adosado a la pared lateral de una casa, para guardar leña. Solo hay que construir, por tanto, el techo y tres paredes (la pared del fondo del cobertizo es la de la casa a la que está adosado). Además, queremos que el cobertizo mida el triple de anchura que de profundidad. Cada metro cuadrado de pared tiene un coste de construcción de $30\,\text{€}$ y el techo cuesta $50\,\text{€}$ por metro cuadrado. Una vez construido el cobertizo, añadirle una puerta tiene un coste fijo de $35\,\text{€}$.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} (x + a)^2 & x \leq -1 \\ \frac{bx}{\sqrt{x + 2}} & x > -1 \end{cases}$$ Hallar valores de $a$ y de $b$ para que $f(x)$ sea derivable en todo $\mathbb{R}$.

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola $f(x) = -x^2 + 9x$, y las rectas $y = 20$ y $x - y + 15 = 0$. (Nota: para el dibujo de la gráfica de la parábola, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y la concavidad o convexidad).

Dadas las funciones $f(x) = \sen\left(\frac{\pi}{2}x\right) \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ y $g(x) = 4 - 4x^2$, encuentra los dos puntos en que se cortan. Calcula el área de la región del plano encerrada entre ambas curvas.

Discutir el sistema y resolver en los casos compatibles: {2x + y + z = a; 2x + y + 2z = 2a; 2x + y + 3z = 3}.