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Definición de función de densidad. Propiedades de la función de densidad.

Obtenga la función de distribución de la variable aleatoria continua que tiene por función de densidad: $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} + \beta x & \text{si } 1 \leq x < 5 \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases}, \quad (\beta \in \mathbb{R})$$

Calcula la probabilidad de que en un día elegido al azar las ventas excedan de $1400$ €.

Si el restaurante debe vender al menos $980$ € al día para cubrir los gastos, ¿cuál es la probabilidad de que un día elegido al azar, el restaurante no cubra gastos?

Enuncia los Teoremas de Bolzano y de Rolle.

Razona que la ecuación $2e^x + x^5 = 0$ tiene al menos una solución real.

Razona que, de hecho, dicha solución es única.

Discute, según los valores del parámetro $m$, el siguiente sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} mx - 2y + 2z = 1 \\ 2x + my + z = 2 \\ x + 3y - z = m \end{cases}$$

Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso $m = 1$.