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Enuncie el teorema de Bolzano.

Utilizando el teorema de Bolzano, encuentre un intervalo de la recta real en el que la función polinómica $p(x) = 3x^3 - x + 1$ tenga alguna raíz.

Utilizando el teorema de Bolzano, demuestre que las gráficas de las funciones $f(x) = e^x + \ln(1 + x^2)$ y $g(x) = e^x + 1$ se cortan en algún punto.

Calcular el valor de los parámetros $a$ y $b$ que verifican que $f(-2) = 2$ y que $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R} - \{5\}$. Escribir la función resultante $f(x)$ y calcular su derivada $f'(x)$.

Hallar las ecuaciones de las asíntotas de la función $f(x)$ si los parámetros toman los valores $a = -1$ y $b = -3$.

Calcula la distancia del punto $P$ a la recta $r$.

Encuentra razonadamente las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto $P$ y por el punto $Q$, siendo $Q$ el punto de corte de la recta $r$ y el plano paralelo a $\pi$ que contiene a $P$.

la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $P_2$, $P_3$ y $P_4$.

el punto simétrico de $P_1$ respecto del plano $\pi$.

Calcula la ecuación de dicha recta.

Calcula la ecuación del plano perpendicular al segmento $\overline{AB}$ que pasa por $A$.

Calcula los otros dos vértices del cuadrado.