Practica por temas

Determina la función $f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que $f''(x) = \ln(x)$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1, 2)$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Calcular la siguiente integral indefinida $$\int x^2 e^{-3x} dx$$

Geometría a) Obtenga la ecuación implícita o general del plano π que pasa por el punto P(1, −1, 0) y es perpendicular a la recta r: {x = 1 + λ; y = −1; z = 0}, λ ∈ ℝ. b) Calcule los dos puntos de la recta r: {x = λ; y = λ; z = λ}, λ ∈ ℝ, cuya distancia al plano π: x − 1 = 0 es igual a 2.

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1}$ para $x eq -1, x eq 1$. Calcula una primitiva de $f$ cuya gráfica pase por el punto $(0, 1)$.

Sea $f(x) = \begin{cases} (x - 1)^2 & \text{si } x \le 1 \\ \ln(x) & \text{si } x > 1 \end{cases}$, donde $\ln(x)$ significa logaritmo neperiano de $x$.