Practica por temas

Sea $f(x) = \begin{cases} ax + 2 & \text{si } x < 1 \\ 3(x - 2)^2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$

Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el metro. ¿Cuáles son las dimensiones del prado de área máxima que podemos cercar con 3000 euros?

Queremos hacer un envase de helado con forma de prisma regular de base cuadrada y con una capacidad de $80\,\text{cm}^3$. Para elaborar la tapa y la superficie lateral, utilizaremos un material determinado que cuesta $1\,€/\text{cm}^2$, pero para la base tendremos que utilizar un material que es un $50\,\%$ más caro.

Demuestra que la derivada de la función $$f(x) = x^{\sen x}$$ se anula en algún punto del intervalo abierto $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$