Practica por temas

Sea $R$ el recinto del plano limitado por las curvas $y = x(3 - x)$ y por $y = x^2$. Dibujar $R$ y calcular su área.

Considera la función $f : [0, 4] \to \mathbb{R}$ definida por: $$f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \\ cx & \text{si } 2 < x \leq 4 \end{cases}$$

Dada la función $$f(x) = \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6x}\right) + \frac{2}{\sqrt{17 - 2x - 3x^2}}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 1$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$ para que $f(0) = 2$, las rectas tangentes a la gráfica de $f$ en los puntos de abscisa $x = 1$ y $x = 3$ sean paralelas y $f$ tenga un extremo relativo en el punto $x = -1$. Ese extremo relativo, ¿es un máximo o un mínimo? Estudia si $f$ tiene algún otro extremo relativo y determina si son máximos o mínimos.

Sea $$f(x) = \begin{cases} x^2 + Ax, & \text{si } x \leq 1 \\ Bx - A, & \text{si } x > 1 \end{cases}$$