Practica por temas

Se sabe que la función $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene un punto crítico en $x = 0$, que su gráfica pasa por $(0, 3)$ y que la recta $y = -2x + 2$ es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa $x = 1$. Calcula $a, b, c$ y $d$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} \alpha x + y + 3z = 4 \\ x + y - 2z = -2 \\ -x + 2y + (3 + \alpha)z = 4 + \alpha \end{cases}$$

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$.

Calcular los valores $A$, $B$, $C$ y $D$ para que la función $$f(x) = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D$$ tenga extremos relativos en $(0, 0)$ y en $(2, 2)$.

En un juego de mesa se pueden comprar tanques, submarinos y aviones por $1$, $3$ y $5$ diamantes, respectivamente. El rival ha gastado $41$ diamantes. Sabemos que tiene el doble de submarinos que de tanques, y que el número de submarinos más el de aviones es $10$.