Practica por temas

Sea el rectángulo $R$ definido por los puntos del plano $(-1,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ y $(-1,1)$. Se consideran las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = a$, $0 < a < 1$ contenidas dentro de $R$. Obtener el valor de $a$ que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de $R$. (10 puntos)

Calcula $\int \ln(x^2 + 2x + 2) \, dx$ donde ln denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable $t = x + 1$).

Un turista recorre el Principado de Asturias pasando 'x' días en la zona del oriente, 'y' días en la zona centro y 'z' días en la zona de occidente. Sus gastos en estas vacaciones se reparten como sigue: cada día que pasa en la zona oriental gasta $30$ € en hospedaje y $25$ € en alimentación, en la zona centro gasta $40$ € en hospedaje y $20$ € en alimentación. En cuanto a la zona del occidente sus gastos diarios son $30$ € en hospedaje y $40$ € en alimentación. Además, cada día de vacaciones gasta en otros conceptos $25$ € en cada zona.

De todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{1 + e^x}$, encuentre la que pasa por el punto de coordenadas $(0, 1)$.