Practica por temas

Calcule $f'(x)$ y $f''(x)$ y dé los resultados completamente simplificados.

Determine los máximos y mínimos de la función $f(x)$.

Supongamos que la matriz $M$ tiene 2 filas y 2 columnas, y que $M^2 = (x - 1)I$ siendo $I$ la matriz identidad. Calcule todos los valores de $x \in \mathbb{R}$.

Supongamos ahora que la matriz $M$ tiene 3 filas y 3 columnas. Estudie si existe algún valor de $x$ para el que pueda ser $$M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & x \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$

Supongamos ahora que el tamaño de $M$ es $3 \times 3$, que $x \neq 0$ y que $M = xM^2$. Calcule los posibles valores de $x$ y $\det(M^{-1})$ para cada uno de ellos.

Dada la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Encontrar sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

Dada la función $f(x) = x^2 - 2x$. Estudiar el signo de la función en el intervalo $[1, 3]$ y encontrar el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje $OX$ y las rectas $x = 1$ y $x = 3$.