Practica por temas

Demuestra que existe $\alpha \in (0, 2)$ tal que $f'(\alpha) = -\frac{1}{3}$, siendo $$f(x) = (x + 1)^{(x - 1) \cos \left(\frac{\pi x}{2}\right)}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Para adornar un mural queremos construir un marco de madera rectangular que encierre una superficie de cinco metros cuadrados. Sabemos que el coste de cada centímetro del marco en los lados horizontales es de $1{,}5$ €, mientras que en los lados verticales es de $2{,}7$ €. Determinar las dimensiones que hemos de elegir para que el marco nos resulte lo más barato posible.

Considere la función $f(x) = \frac{x^2 + 2}{x^2 - 1}$

Se desea construir una caja sin tapa superior (ver Figura 1). Para ello, se usa una lámina de cartón de $15\,\text{cm}$ de ancho por $24\,\text{cm}$ de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas (ver Figura 2). Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indicar cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo.

Dibuja las dos curvas $y = x^3 - 1$, $y = -x^2 + x$. Halla el área comprendida entre ambas.