Practica por temas

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $a$: $$\begin{cases} x + 3y + z = 5 \\ ax + 2z = 0 \\ ay - z = a \end{cases}$$

Un barco $B$ y dos ciudades $A$ y $C$ de la costa forman un triángulo rectángulo en $C$. Las distancias del barco a las ciudades $A$ y $C$ son $13\,\text{km}$ y $5\,\text{km}$, respectivamente. Un hombre situado en $A$ desea llegar hasta el barco $B$. Sabiendo que puede nadar a $3\,\text{km/h}$ y caminar a $5\,\text{km/h}$, ¿a qué distancia de $A$ debe abandonar la costa para nadar hasta $B$ si quiere llegar lo antes posible?

Determina los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para los que $(x, y, z) = (1, 2, 3)$ es solución del sistema $$\begin{cases} 2ax + by + z = 3c \\ 3x - 2by - 2cz = a \\ 5ax - 2y + cz = -4b \end{cases}$$

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x}$ para $x \neq 0, x \neq 1$. Halla la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto $(2, 3\ln 2)$, donde ln denota la función logaritmo neperiano.

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro $m$. (NO es necesario resolverlo) $$\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x + my + z = 2 \\ 3x + y - mz = 3 \end{cases}$$