Practica por temas

Compruebe que la función $f(x)$ cumple el enunciado del teorema de Bolzano en el intervalo $[0, 2]$ y que, por tanto, la ecuación $f(x) = 0$ tiene alguna solución en el intervalo $(0, 2)$. Compruebe que $x = 1$ es una solución de la ecuación $f(x) = 0$ y razone, teniendo en cuenta el signo de $f'(x)$, que la solución es única.

A partir del resultado final del apartado anterior, encuentre el área limitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de las abscisas y las rectas $x = 0$ y $x = 1$.

Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de $f$.

Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$.

Determina todas las soluciones del sistema de ecuaciones $$\begin{cases} \operatorname{sen} x - \cos y = 1 \\ \operatorname{sen} x + \cos y = 0 \end{cases}$$

Halla $$\int \frac{x}{e^x} dx$$