Practica por temas

Determina $k \neq 0$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} 3 - kx^2 & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{2}{kx} & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ es derivable.

Los puntos $A = (6, -4, 4)$ y $B = (12, -1, 1)$ son dos vértices de un triángulo. El tercer vértice $C$ es la proyección ortogonal del vértice $A$ sobre la recta $$r: \begin{cases} x - 2y = 5 \\ x + 2z = 5 \end{cases}$$

Sean $r$ y $s$ las rectas $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2t \\ z = -2 + 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$ $$s: \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{-2}$$

En un hospital de las Islas Canarias, un equipo de investigación está analizando cómo se metaboliza en sangre un nuevo medicamento llamado Metabolix, utilizado para tratar infecciones bacterianas. La concentración residual del fármaco en el plasma sanguíneo, denotada como $f(x)$ (medida en miligramos por litro, mg/L), depende del tiempo transcurrido $x$ (en horas) desde su administración. El estudio indica que el medicamento sigue dos fases diferenciadas: • Fase de absorción: En las primeras dos horas, el fármaco se distribuye por el organismo. • Fase de eliminación: A partir de la segunda hora, el fármaco empieza a eliminarse. Este comportamiento se modeliza mediante la siguiente función matemática: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11 & \text{si } 0 \leq x < 2 \\ \frac{9}{\sqrt{5x - 1}} & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$