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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2013

4 ejercicios

Instrucciones

Elija una de las dos opciones propuestas, A o B. En cada pregunta se señala la puntuación máxima.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea AA la matriz:A=(5−m31−1011m)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & -m & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}
a
Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de mm y resuélvalo para los valores de mm siguientes: m=−1m = -1 y m=2m = 2.AX=(000)dondeX=(xyz)\mathbf{AX} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{donde} \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}1,5 pts
b
Determine la inversa de la matriz AA cuando m=0m = 0.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
a
¿Pueden existir vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} tales que ∣u⃗∣=2|\vec{u}| = 2, ∣v⃗∣=3|\vec{v}| = 3 y u⃗⋅v⃗=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 8? Justifique la respuesta.1 pt
b
Determine todos los posibles vectores u⃗=(a,0,b)\vec{u} = (a, 0, b) que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la rectar ⁣:{x+y+z=0x−y+z−2=0r \colon \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z - 2 = 0 \end{cases}1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo (véase figura). El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1000 euros. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo?
Esquema de la instalación del cable: poste de 3 m con sensor, cable aéreo inclinado, cable terrestre horizontal y estación a 4 m de la base.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Determine la función f(x)f(x) cuya derivada es f′(x)=2xe5xf'(x) = 2xe^{5x} y que verifica que f(0)=2f(0) = 2.1,25 pts
b
Calcule:lim⁡x→2+(13−x)1(2−x)2\lim_{x \to 2^+} \left(\frac{1}{3 - x}\right)^{\frac{1}{(2 - x)^2}}1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
a
Determine el rango de la matriz AA, que aparece a continuación, según los diferentes valores de aa:A=(a−a62−24a+2−5−10)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & -a & 6 \\ 2 & -2 & 4 \\ a + 2 & -5 & -10 \end{pmatrix}1 pt
b
Determine, si existe, una matriz XX, 2×22 \times 2, que verifique la siguiente ecuación matricial:(2111)X(1−101)=(−3−333)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}¿Cuál es el rango de la matriz XX?1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Dadas las rectas:r ⁣:x2=y3=z1ys ⁣:{x=−λy=1+2λz=−2+2λr \colon \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1} \quad \text{y} \quad s \colon \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}
a
Determine su posición relativa.1,5 pts
b
Calcule la distancia del punto P=(2,3,1)P = (2, 3, 1) a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
a
Sea la función f(x)=x3x2−1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}. Determine el dominio y las asíntotas de f(x)f(x), si existen.1,25 pts
b
Determine el área del recinto encerrado por las funciones:f(x)=−x2+3yg(x)=1f(x) = -x^2 + 3 \quad \text{y} \quad g(x) = 11,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
a
Determine qué valor debe tomar kk para quelim⁡x→+∞(2x−4x2+kx−5)=1\lim_{x \to +\infty} \left(2x - \sqrt{4x^2 + kx - 5}\right) = 11 pt
b
Calcule:∫2x[ln⁡(x)]2dx\int 2x [\ln(x)]^2 dx1,5 pts
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