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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAragónPAU 2013Ordinaria

Matemáticas II · Aragón 2013

8 ejercicios

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Sea AA la matriz: A=(5−m31−1011m)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 5 & -m & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}
a)1,5 pts
Discuta el sistema que aparece a continuación, para cada uno de los valores de mm y resuélvalo para los valores de mm siguientes: m=−1m = -1 y m=2m = 2. AX=(000)dondeX=(xyz)\mathbf{AX} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \qquad \text{donde} \qquad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
b)1 pts
Determine la inversa de la matriz AA cuando m=0m = 0.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Determine el rango de la matriz AA, que aparece a continuación, según los diferentes valores de aa: A=(a−a62−24a+2−5−10)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & -a & 6 \\ 2 & -2 & 4 \\ a + 2 & -5 & -10 \end{pmatrix}
b)1,5 pts
Determine, si existe, una matriz XX, 2×22 \times 2, que verifique la siguiente ecuación matricial: (2111)X(1−101)=(−3−333)\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} ¿Cuál es el rango de la matriz XX?
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
a)1 pts
¿Pueden existir vectores u⃗\vec{u} y v⃗\vec{v} tales que ∣u⃗∣=2|\vec{u}| = 2, ∣v⃗∣=3|\vec{v}| = 3 y u⃗⋅v⃗=8\vec{u} \cdot \vec{v} = 8? Justifique la respuesta.
b)1,5 pts
Determine todos los posibles vectores u⃗=(a,0,b)\vec{u} = (a, 0, b) que tengan módulo 8 y sean perpendiculares a la recta r ⁣:{x+y+z=0x−y+z−2=0r \colon \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - y + z - 2 = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Dadas las rectas: r ⁣:x2=y3=z1ys ⁣:{x=−λy=1+2λz=−2+2λr \colon \frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{1} \quad \text{y} \quad s \colon \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}
a)1,5 pts
Determine su posición relativa.
b)1 pts
Calcule la distancia del punto P=(2,3,1)P = (2, 3, 1) a la recta rr.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Un poste de 3 metros de altura tiene en su punta un sensor que recoge datos meteorológicos. Dichos datos deben transmitirse a través de un cable a una estación de almacenamiento situada a 4 metros de la base del poste. El cable puede ser aéreo o terrestre, según vaya por el aire o por el suelo (véase figura). El coste del cable es distinto según sea aéreo o terrestre. El metro de cable aéreo cuesta 3000 euros y el metro de cable terrestre cuesta 1000 euros. ¿Qué parte del cable debe ser aéreo y qué parte terrestre para que su coste sea mínimo?
Esquema de la instalación del cable: poste de 3 m con sensor, cable aéreo inclinado, cable terrestre horizontal y estación a 4 m de la base.
Esquema de la instalación del cable: poste de 3 m con sensor, cable aéreo inclinado, cable terrestre horizontal y estación a 4 m de la base.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
a)1,25 pts
Sea la función f(x)=x3x2−1f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1}. Determine el dominio y las asíntotas de f(x)f(x), si existen.
b)1,25 pts
Determine el área del recinto encerrado por las funciones: f(x)=−x2+3yg(x)=1f(x) = -x^2 + 3 \quad \text{y} \quad g(x) = 1
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
a)1,25 pts
Determine la función f(x)f(x) cuya derivada es f′(x)=2xe5xf'(x) = 2xe^{5x} y que verifica que f(0)=2f(0) = 2.
b)1,25 pts
Calcule: lim⁡x→2+(13−x)1(2−x)2\lim_{x \to 2^+} \left(\frac{1}{3 - x}\right)^{\frac{1}{(2 - x)^2}}
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
a)1 pts
Determine qué valor debe tomar kk para que lim⁡x→+∞(2x−4x2+kx−5)=1\lim_{x \to +\infty} \left(2x - \sqrt{4x^2 + kx - 5}\right) = 1
b)1,5 pts
Calcule: ∫2x[ln⁡(x)]2dx\int 2x [\ln(x)]^2 dx
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