Practica por temas

Describa la posición relativa de $\Pi$ y $r$.

Calcule el ángulo formado por $\Pi$ y $r$ (si no posee calculadora, puede dejar indicado el resultado final).

Dé un ejemplo de una recta que corte a $r$, una recta que sea paralela y distinta de $r$ y una recta que se cruce con $r$. Al menos una de esas rectas debe darse mediante sus ecuaciones implícitas (generales).

Calcule la ecuación paramétrica del plano que pasa por el punto $P$ y contiene la recta $r$.

Calcule la ecuación cartesiana (es decir, que tiene la forma $Ax + By + Cz = D$) del plano que pasa por el punto $P$ y es perpendicular a la recta $r$.

Estudia el rango de $A$ según los valores de $m$.

Para $m = 2$, calcula la inversa de $2020A$.

Dados los vectores $\vec{u} = (a, b, 1)$, $\vec{v} = (-3, 4, 1)$ y $\vec{w} = (1, 2, c)$, determina el valor de los parámetros $a, b, c \in \mathbb{R}$ de manera que los vectores $\vec{v}$ y $\vec{w}$ sean perpendiculares y además $\vec{u} \times \vec{w} = \vec{v}$, donde $\vec{u} \times \vec{w}$ denota el producto vectorial.

Sea $r$ la recta que pasa por el punto $P = (1, -1, 1)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (1, 2, -2)$. ¿Existe algún valor de $k$ para el cuál la recta $r$ está contenida en el plano $\pi \equiv 2x + 3y + 4z = k$? En caso afirmativo, calcula el valor de $k$.

Compruebe que la distancia del punto P al plano $\pi$ es $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.

Encuentre la ecuación general de un plano $\pi'$ paralelo a $\pi$ y que pase por el punto P. ¿Cuánto vale la distancia entre $\pi'$ y $\pi$?

Encuentre la ecuación general de un segundo plano $\pi_2$, diferente de $\pi'$, que sea paralelo a $\pi$ y que esté a una distancia $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ de $\pi$.