Practica por temas

Consideremos el sistema $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 4 \\ (a + 3)y = 0 \\ (a + 2)z = 1 \end{cases}$$

Considera los planos $\pi_1, \pi_2$ y $\pi_3$ dados respectivamente por las ecuaciones $$x + y = 1, \quad ay + z = 0 \quad \text{y} \quad x + (1 + a)y + az = a + 1$$

Sea $I = \int_{0}^{1} \frac{x}{1 + \sqrt{1 - x}} \, dx$

Determine la ecuación en forma continua de la recta $r$ que pasa por el punto $(3, 4, 7)$ y es perpendicular a las rectas $r_1$ y $r_2$ dadas por $$r_1: \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 4}{2}, \quad r_2: x - 1 = y - 2 = \frac{z - 3}{4}$$ Dé la ecuación vectorial, las ecuaciones paramétricas y la forma implícita de la recta calculada $r$.

El plano $\pi$ pasa por los puntos $P_1(2, 0, 5)$, $P_2(1, -2, 2)$ y $P_3(3, -1, 2)$. Una esfera con centro en $C(0, 1, -3)$ toca al plano en un único punto. Calcula el radio de la esfera y el punto de intersección.