Practica por temas

Sabiendo que $$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = 5,$$ calcula el valor de los determinantes $$\begin{vmatrix} b & b + a & 2 c \\ e & e + d & 2 f \\ h & h + g & 2 i \end{vmatrix} \qquad \qquad \begin{vmatrix} a + d + g & b + e + h & c + f + i \\ d + g & e + h & f + i \\ g & h & i \end{vmatrix}$$ indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta.

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por el vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

Sean $\vec{e}$, $\vec{u}$ y $\vec{v}$ vectores en $\mathbb{R}^3$ tales que $\vec{e} \times \vec{u} = (1, 0, -1)$ y $\vec{v} \times \vec{e} = (0, 1, 1)$.

Considere la recta $r$ y el plano $\pi$ dados por las ecuaciones siguientes: $$r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 4}{-4} = \frac{z + 1}{0} \quad y \quad \pi: 7x - y = 8$$

Calcula la ecuación de una recta $r$ paralela al plano que pasa por los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(0, 1, 1)$ y $C(1, 0, 1)$ y al plano de ecuación $x + 2y + 3z = 1$ y que no esté contenida en ninguno de ellos.