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Calcula todas las matrices $X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ tales que $a + d = 1$, tienen determinante $1$ y cumplen $AX = XA$, siendo $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Sean las matrices $$A = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.$$

Determinar los valores de $a$ y $b$ para que la función $f$ definida de la forma $$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + a & \text{si } x \leq 2 \\ -x^2 + bx & \text{si } x > 2 \end{cases}$$ sea derivable en todo $x \in \mathbb{R}$

Dada la función $f(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + 7$ Calcular los valores de $a$, $b$ y $c$ sabiendo que se cumplen las condiciones siguientes: - Dos de sus extremos relativos se encuentran en los puntos de abcisa $x = 0$ y $x = -2$ - La función corta el eje OX en el punto $x = 1$ Dar la expresión de la función resultante.

Obtén un vector no nulo $\vec{v} = (a, b, c)$, de manera que las matrices siguientes tengan simultáneamente rango 2. $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 0 & b \\ 1 & 1 & c \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & a \\ 0 & -1 & b \\ 3 & 1 & c \end{pmatrix}$$