Practica por temas

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ (donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Dada $F(x) = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 4}$, escriba la ecuación de la secante a $F$ que une los puntos $(-2, F(-2))$ y $(2, F(2))$. ¿Existe un punto $c$ en el intervalo $[-2, 2]$ verificando que la tangente a la gráfica de $F$ en $(c, F(c))$ es paralela a la secante que halló? En caso afirmativo razone su respuesta y calcule $c$, en caso negativo razone por qué no existe.

Calcula el valor de $a > 0$ para el que se verifica $\int_{0}^{a} \frac{x}{2 + x^2} dx = 1$.

Sea la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \left(x - \frac{1}{2}\right) e^{-x^2}$.