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Enunciado del teorema de Rouché-Frobenius.

¿Es compatible determinado el sistema de ecuaciones $\begin{cases} 3x + 2z = 2 \\ 5x + 2y = 1 \\ x - 2y + 4z = 3 \end{cases}$? Justifique su respuesta. Como consecuencia de su respuesta anterior, justifique si tiene una, ninguna o más de una solución ese sistema.

Clasifique el sistema en función del parámetro $m$.

Calcule todas las soluciones en los casos en los que el sistema sea compatible.

Discutirlo en función del parámetro $m$.

Resolverlo para el caso $m = -1$.

Hallar el valor de $\lambda$ para el cual la ecuación matricial $XA = B$ tiene solución única.

Calcular la matriz $X$ para $\lambda = 4$.

Calcular el determinante de la matriz $A^2 B$ en función de $\lambda$.

Calcule los valores de $x$ e $y$ que hacen que $A$ conmute con todas las matrices antisimétricas $X$ de orden 2, es decir, que hacen que se cumpla la igualdad $AX = XA$ para toda matriz antisimétrica $X$ de orden 2.

Si $x = -1$ e $y = 1$, calcule la matriz $M$ que satisface la igualdad $2M = A^{-1} - AM$.