Practica por temas

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que sea compatible: $$\begin{cases} ax + y - 2z = 1 \\ 3ax + a^2y - 2a^2z = 3 \\ -ax - y + (a^2 - 1)z = a + \sqrt{3} - 1 \end{cases}$$ Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado. $$\begin{cases} x + y + az = a \\ ax + ay + z = 1 \\ x + ay + z = a \end{cases}$$

Calcular los siguientes límites:

Sea la función $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = a + \frac{\ln(x)}{x^2}$.

Se desea construir un depósito en forma de cilindro recto, con base circular y sin tapadera, que tenga una capacidad de $125\,\text{m}^3$. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depósito para que la superficie sea mínima.