Practica por temas

En la empresa "MARKOAK" fabrican marcos para cuadros. En esta ocasión les han solicitado marcos para 274 cuadros rectangulares. Todos los cuadros tienen las mismas dimensiones y una superficie de $0{,}3\,\text{m}^2$. Para cada marco van a emplear dos tipos de material: las partes horizontales serán de un material cuyo coste es de $12\,€/\text{m}$ y para las verticales utilizarán un material cuyo coste es de $10\,€/\text{m}$. La empresa que ha realizado el pedido quiere pagar lo mínimo posible.

En una cristalería, a un cristal rectangular de $120$ centímetros de alto y $70$ centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado?

Halla $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = a + b \operatorname{sen}(x) + c \operatorname{sen}(2x)$ tiene un punto crítico en el punto de abscisa $x = \pi$ y la recta $y = -\frac{1}{2}x + 3$ es normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.

Se considera la función $h(x) = ax + x^2$ donde $a$ es un parámetro real. Se pide: a) El valor de $a$ que hace que la gráfica de la función $y = h(x)$ tenga un mínimo relativo en la abscisa $x = \dfrac{-3}{4}$. (3 puntos) b) Para el valor de $a$ del apartado anterior, dibuja las curvas $y = h(x)$ e $y = h'(x)$. (2 puntos) c) Calcula el área del plano comprendida entre ambas curvas. (5 puntos)

El croquis de abajo representa la pared de una buhardilla con el techo inclinado, en la cual se quiere construir un armario rectangular como el de la zona sombreada.