Practica por temas

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x + 2y + az = 8 \\ 2x - y - z = 1 \\ x - y + z = -2 \end{cases}$$

Se sabe que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, dada por $$f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + c$$ tiene un punto de inflexión para $x = 1$ y que la ecuación de la recta tangente a dicha gráfica en ese punto es $y = -6x + 6$. Calcula $a$, $b$ y $c$.

5: Considere los planos x - y + z = 0 y x + y - z = 2 y los puntos P(1, 2, 3) y Q(1, 1, 3). a) [0,75] Compruebe que ambos planos se cortan en una recta r y calcule la ecuación continua de dicha recta. b) [1] Compruebe que el punto P no está en ninguno de los dos planos y calcule la ecuación de la recta que pasa por P y no corta a ninguno de los dos planos. c) [0,75] Determine el punto de la recta r que equidista de P y de Q.

Consideramos las rectas siguientes dependientes de un parámetro $\lambda$: $$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda t \\ y = -1 + t \\ z = 3 - 2t \end{cases}, \quad s: \frac{x - 2}{\lambda} = \frac{y}{2\lambda} = \frac{z - 3}{-1}$$

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible determinado e indeterminado: $$\begin{cases} x + (a + 1)y + z = a \\ x + y + (a + 1)z = a \\ (a + 1)x + y + z = a \end{cases}$$