Practica por temas

Se llama mediana de un triángulo a cada una de las rectas que pasan por un vértice del triángulo y por el punto medio del lado opuesto a dicho vértice.

Dada la recta $r$ definida por $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 2}{1}$$

Un triángulo rectángulo situado en el primer cuadrante tiene el vértice $A$ en el origen de coordenadas, el vértice $B = (x, 0)$ en el semieje positivo de abscisas y el vértice $C$ pertenece a la recta $x + 2y = 8$. El ángulo recto es el que corresponde al vértice $B$.

Discute y resuelve, según los valores de $a$, el siguiente sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x + (1 + a)y - az = 2a \\ x + 2y - z = 2 \\ x + ay + (1 + a)z = 1 \end{cases}$$

Dada la función \(f(x) = e^x + x^3 - 2\), demostrar que \(f(x)\) se anula para algún valor de \(x\) y que ese valor es único.