Practica por temas

Enuncia la fórmula de integración por partes.

Calcula la integral indefinida: $\int x \ln x dx$.

Determine el límite: $$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{2}{\ln((1 + x)^2)} - \frac{1}{x}\right)$$

Determine el valor de la constante $k$ para que la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{x^4 - 1}{x - 1}, & \text{si } x \neq 1 \\ k - x, & \text{si } x = 1 \end{cases}$$ sea continua en $x = 1$.

La curva $y = x^2 + 1$ divide al rectángulo limitado por los vértices $A: (0, 1)$, $B: (2, 1)$, $C: (0, 5)$ y $D: (2, 5)$ en dos partes. Determine el área de cada una de esas dos partes.

Calcule la ecuación del plano $\pi$ que es perpendicular a la recta $AB$ y que pasa por el punto medio entre $A$ y $B$. Justifique que este plano está formado, precisamente, por los puntos $P = (x, y, z)$ que están a igual distancia de $A$ que de $B$, es decir, $d(P, A) = d(P, B)$.

Calcule las distancias de $A$ y de $B$ al plano $\pi$ y compruebe que son iguales. ¿Es casualidad? Razone la respuesta.

Sea $C = (-7, 6, 3)$. ¿El triángulo $ABC$ es isósceles? Calcule su área.

Calcule la recta $r$ que pasa por $P$ y es ortogonal al plano $\Pi$.

Calcule la distancia entre $P$ y $\Pi$.

Calcule la ecuación implícita (general) de $\Pi$.