Practica por temas

Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a los planos $$\pi_1 \equiv 5x - y - 7z = 1 \quad \text{y} \quad \pi_2 \equiv 2x + 3y + z = 5$$

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 2 - m & 1 & 2m - 1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}$, $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2m^2 - 1 \\ m \\ 1 \end{pmatrix}$, considera el sistema de ecuaciones lineales dado por $X^t A = B^t$, donde $X^t$, $B^t$ denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de $m$.

Dadas las rectas $$r: \frac{x - m}{-1} = \frac{y + 10}{4} = \frac{z + 3}{1}, \qquad s: \begin{cases} x = 1, \\ y = 6 + 4\lambda, \\ z = -1 + 2\lambda. \end{cases}$$

Estudie el dominio, el signo, las asíntotas verticales y las asíntotas horizontales de la función $$f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 + x}$$

Sea el plano $\pi: 6x + 4y - 3z - d = 0$. Se pide: a) Calcular los valores de $d$ para que la distancia del plano al origen sea una unidad. (2 puntos) b) Calcular, en función del parámetro $d$, las coordenadas de los puntos $A$, $B$ y $C$ que resultan de intersectar el plano $\pi$ con los ejes de coordenadas, $X$, $Y$ y $Z$, respectivamente. (3 puntos) c) Para $d \neq 0$, calcular el ángulo formado por los vectores $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$ determinados por los puntos del apartado anterior. (5 puntos)