Practica por temas

Enunciado de la Regla de L'Hopital.

Calcule la relación entre $a$ y $b$ para que sea continua en toda la recta real la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{2x} & \text{si } x \neq 0 \\ b & \text{si } x = 0 \end{cases}$$

Discute, según los valores del parámetro $m$, el sistema de ecuaciones.

Resuélvelo, si es posible, cuando $m = 3$.

Calcula $a$ y $b$ para que la función $f(x) = \begin{cases} e^{2x} + ax + b & \text{si } x < 0 \\ \frac{1}{2}(x^2 + 2) & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$ sea continua y derivable en $x = 0$.

Calcula los vértices del rectángulo de área máxima que se puede construir, si uno de los vértices es el $(0,0)$, otro está sobre el eje X, otro sobre el eje Y y el otro sobre la recta $2x + 3y = 8$.

Calcula $\int_{0}^{3} x \sqrt{x + 1} \, dx$.