Practica por temas

Se va a construir una caja sin tapa, a partir de una cartulina cuadrada de $60\,\text{cm}$ de lado, recortando cuatro cuadrados iguales en las esquinas de la cartulina tal y como se muestra en la figura 1, doblando después de la manera adecuada, tal y como vemos en la figura 2. Calcular las medidas de la caja para que su volumen sea máximo.

Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta $r$ de ecuaciones $\begin{cases} x - 2y + 11 = 0 \\ 2y + z - 19 = 0 \end{cases}$ y contiene a la recta $s$ definida por $\begin{cases} x = 1 - 5\lambda \\ y = -2 + 3\lambda \\ z = 2 + 2\lambda \end{cases}$.

Se consideran la recta $r$ cuyas ecuaciones paramétricas son: $$r \equiv \begin{cases} x = t, \\ y = 2 t, \\ z = 0; \end{cases}$$ y el plano $\pi \equiv x + y + z - 2 = 0$. Calcula las coordenadas de un punto $P$ perteneciente a la recta $r$ tal que la distancia de $P$ al plano $\pi$ sea igual que la distancia de $P$ al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.