Practica por temas

Determine $m$ para que la recta $\frac{x}{-1} = \frac{y + 1}{m} = \frac{z + 3}{3}$ sea paralela al plano $x + y - z = 5$ y calcule la distancia entre ellos.

Sean las rectas $r : \begin{cases} x = 1 + y \\ z = 1 \end{cases}$ y $s : \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 0 \\ z = \lambda \end{cases}$

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas $(2, 0)$ de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x + 1}$. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

Siendo $a \neq 0$, considera las rectas $$r \equiv x - 1 = y - 2 = \frac{z - 1}{a} \quad \text{y} \quad s \equiv \frac{x - 3}{-a} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z + 1}{2}$$

Se dan el punto $A = (-1, 0, 2)$, las rectas $r : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{3} = z - 2$ y $s : \begin{cases} x = -1 - 2\lambda \\ y = 1 + 3\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$ Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: