Practica por temas

Sean $A(-3, 4, 0)$, $B(3, 6, 3)$ y $C(-1, 2, 1)$ los vértices de un triángulo.

Determina $a$ y $b$ sabiendo que $b > 0$ y que la función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ definida como $$f(x) = \begin{cases} a \cos(x) + 2x & \text{si } x < 0 \\ a^2 \ln(x + 1) + \frac{b}{x + 1} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$ es derivable. ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Una caja (prisma rectangular) tiene por dimensiones $A$, $2A$ y $3A$. Si disminuimos cada una de sus dimensiones en un $50\%$ ¿el volumen habrá disminuido en un $50\%$? ¿el área total habrá disminuido en un $50\%$? Razona las respuestas.

Para la siguiente función $$f(x) = \frac{2x^3 - x^2}{x^2 - x - 2}$$

Sea $f$ la función $f(x) = x^2 e^{-4x}$. Calcular la primera y la segunda derivada de $f$. Hallar los máximos y mínimos de $f$.