Practica por temas

Calcule la siguiente integral de una función racional: $$\int \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} dx$$

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$, determina las dimensiones de un rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 0$.

Dada la siguiente expresión de la función $f$, de la que se desconocen algunos valores: $$f(x) = \begin{cases} a - x & \text{si } x \leq 1 \\ \frac{b}{x} - \ln x & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calcular los valores de $a$ y $b$ para que $f$ sea derivable en todo su dominio. Escribir la función resultante.