Practica por temas

Un estudio revela que el $10\%$ de los hombres son daltónicos y que el $1\%$ de las mujeres son daltónicas. Según los datos de las Naciones Unidas, en el mundo hay actualmente un $50{,}5\%$ de hombres y un $49{,}5\%$ de mujeres. Determine:

Sea $f$ la función dada por $$f(x) = \begin{cases} -3x + 3 & \text{si} & x < 1 \\ ax^2 + bx + 3 & \text{si} & 1 \leq x \leq 3 \\ \sqrt{x^2 - 5} & \text{si} & 3 < x \end{cases}$$

Un náufrago se encuentra en una isla situada en el punto de coordenadas $(2, 0)$ de un plano. Se sabe que un ferry navega en el mismo plano siempre en la trayectoria dada por la gráfica de la función $f(x) = \sqrt{x + 1}$. ¿Hacia qué punto de la trayectoria debe nadar el náufrago para recorrer la menor distancia posible? Calcula dicha distancia.

Dada la función $$f(x) = \sqrt{2 + \sen(\sqrt[3]{x + 1}) + \sen(\pi - \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x}})}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Halla $a > 0$ y $b > 0$ sabiendo que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dada por $f(x) = \frac{bx^2}{1 + ax^4}$ tiene en el punto $(1, 2)$ un punto crítico.