Practica por temas

Discutir el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. $$S = \begin{cases} \alpha x - y + 2z = 1 \\ x - 2y = 0 \\ \alpha x + y - z = 1 \end{cases}$$ Resolverlo para $\alpha = 1$.

Calcula las integrales $$\int \frac{1}{\sqrt{x}} (4x^3 - \sqrt[4]{x}) \, dx, \qquad \int x \ln x \, dx$$

Demuestra que la siguiente función tiene un máximo relativo en el intervalo $(-1, 0)$: $$f(x) = \cos(\pi x) \cdot \ln(x^2 - 3x + 2)$$ Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Se desea construir un depósito de chapa (en forma de prisma recto, abierto y de base cuadrada) con una capacidad de $32.000$ litros. ¿Cuáles han de ser las dimensiones del depósito para que se precise la menor cantidad de chapa posible en su construcción?

Sea $f$ la función definida como sigue: $$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3x, & x \leq 2 \\ x^2 - bx - 4, & x > 2 \end{cases}$$ Calcular $a$ y $b$ razonadamente, sabiendo que $f$ es derivable en toda la recta real.