Practica por temas

El radio de un pistón se distribuye según una distribución normal de media $5$ cm y desviación típica de $0{,}01$ cm.

Demostrar que las gráficas de las funciones $f(x) = 2 - x^2$ y $g(x) = e^x$ se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encontrar un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razonar las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen.

Sea la función continua $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(e^x + x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\ 4x^2 + a & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b + \sen(\pi x) & \text{si } 1 \leq x \end{cases}$$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). Determina $a$ y $b$.

Dado el sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} 2x + 4y = 4k \\ -k^3x + k^2y + kz = 0 \\ x + ky = k^2 \end{cases}$$ se pide: