Practica por temas

Se sabe que la suma de tres números naturales es 22 y que la suma de cuatro veces el primero más el triple del segundo más el doble del tercero es 61. ¿Puede ser 15 uno de los tres números? En caso afirmativo, calcula los restantes. ¿Existen otras opciones?

Los resultados obtenidos en una prueba de matemáticas siguen una distribución normal con media $65$ puntos y desviación típica $18$ puntos. El $15\%$ del alumnado está en el nivel avanzado, el $65\%$ en el nivel medio y el $20\%$ restante en el nivel inicial. Decide, razonando tus respuestas, en qué nivel situaremos a los alumnos o alumnas que han obtenido las siguientes notas:

Se sabe que dos poblaciones distintas $X$ e $Y$ se distribuyen según una Normal de media $25$. Además $P(X \geq 27) = P(Y \geq 30) = 0{,}1587$. Calcular sus respectivas varianzas.

**Problema 1.** a) Dado $k \in \mathbb{R}$, se considera el sistema de ecuaciones $$\begin{cases} kx - y - z = 1 \\ x + ky + 2kz = k \end{cases}$$ Discutir el sistema de ecuaciones según los valores del parámetro $k \in \mathbb{R}$, y resolverlo para $k = -1$. **(1.5 puntos)** b) Sea $A$ una matriz cuadrada que verifica $A^2 = I + 3A$, donde $I$ denota la matriz identidad. Demostrar que el determinante de $A$ no es cero y expresar $A^{-1}$ en función de $A$ y de $I$. **(1 punto)**