Practica por temas

Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \operatorname{sen} x}{x - \operatorname{sen} x}$.

Dada la función \(f(x) = \begin{cases} \frac{\cos(x) - a}{bx^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}\), ¿qué valores tienen que tomar los parámetros \(a \in \mathbb{R}\) y \(b \in \mathbb{R} - \{0\}\) para que esta función sea continua en todo \(\mathbb{R}\)?

Se considera la función $f(x) = x^2 + e^{\frac{x}{4}}$

Una empresa tiene 3 máquinas de fabricación de latas de refresco. El 10.25% de las latas que fabrica la empresa son defectuosas. El 30% de las latas las fabrica en la primera máquina, siendo el 10% defectuosas. El 25% de las latas las fabrica en la segunda máquina, siendo el 5% defectuosas. El resto de las latas las fabrica en la tercera máquina. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una lata fabricada por la tercera máquina sea defectuosa? (4 puntos) b) Si se escoge una lata al azar y no es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la primera máquina? (3 puntos) c) Si se escoge una lata al azar y es defectuosa ¿Cuál es la probabilidad de que no haya sido fabricada en la segunda máquina? (3 puntos)

Contesta razonadamente si, para la función $f(x) = \ln(x^2 + 3x)$ existe algún punto en el que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ es perpendicular a la recta $2x - y + 2 = 0$.