Practica por temas

Se dispone de una cartulina cuadrada como la del dibujo, cuyo lado mide $50\,\text{cm}$. En cada una de las esquinas se corta un cuadrado de lado $x$ con el fin de poder doblar la cartulina y formar una caja, sin tapa. ¿Cuál debe ser el lado $x$ del cuadrado a cortar para que el volumen de la caja sea máximo?

Dada la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = 6 - \frac{1}{6}x^2$, calcula las dimensiones de un rectángulo de área máxima, de lados paralelos a los ejes, inscrito en el recinto comprendido entre la gráfica de $f$ y la recta $y = 0$.

Halla la función $f: (2, +\infty) \to \mathbb{R}$ que pasa por el punto $(3, -4 \ln 5)$ y verifica $f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4}$, donde $\ln$ denota la función logaritmo neperiano.

Dada la función $$f(x) = \frac{\cos(x^3 + 2x^2 + 3x)}{\sqrt{x^2 + x} + 2}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (-2, 1)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.