Practica por temas

Sea $f(x) = \frac{1 - x}{1 - \sqrt{x}}$

Considera la función continua $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $$f(x) = \begin{cases} (3x - 6)e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{36(\sen(x) - ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}$$

Calcule $\lim_{x \to 2} \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{x - 2}}$

Considere la función dada por $$f(x) = \begin{cases} x^2 - 3x + a & \text{si } x \leq 0 \\ -x^2 + bx + b + 1 & \text{si } x > 0 \end{cases}$$ Determine los valores de los parámetros $a$ y $b$ para los cuales $f(x)$ es continua y derivable en todo $\mathbb{R}$.

Demostrar que las gráficas de las funciones $f(x) = 2 - x^2$ y $g(x) = e^x$ se cortan en al menos 2 puntos. Para cada uno de los puntos de corte, encontrar un intervalo que lo contenga de longitud menor o igual que 1. Razonar las respuestas exponiendo y verificando los resultados (teoremas) que lo justifiquen.