Practica por temas

Sean las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ y $g: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definidas por $f(x) = x^2/4$ y $g(x) = 2\sqrt{x}$.

Se quiere construir una caja sin tapa de forma que tenga dos caras paralelas cuadradas de lado $x$ y tres caras rectangulares, dos de ellas paralelas, de lados $x$ e $y$, como la figura. Si se quiere utilizar $3\,\text{m}^2$ de material, calcule los valores de $x$ e $y$ para que la capacidad de la caja sea máxima.

Calcule el área de la región limitada por las parábolas $y^2 = 4x$ y $x^2 = 4y$. Haga un dibujo aproximado de la figura.

Dada la función $$f(x) = \begin{cases} \frac{3}{x - 2} & \text{si } x < 2 \\ \cos(\pi x) & \text{si } 2 \leq x \leq 3 \\ \frac{\ln(x - 2)}{3 - x} & \text{si } x > 3 \end{cases}$$

Sea $f$ la función definida por $f(x) = \frac{ax^2 + b}{a - x}$ para $x \neq a$.