Practica por temas

5º) Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Las rectas tangentes a la gráfica de la función $f$ en los puntos de abscisas $x = -1$ y $x = 2$ son paralelas. Además, $f$ tiene un extremo relativo cuando $x = 1$ y $f(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-1}{x}$. $a)$ Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$. $b)$ Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$ para los valores de los parámetros $A = -3$, $B = 0$ y $C = 4$.

Halla el punto de la gráfica de la función $f(x) = x + \ln x$ en el que la recta tangente a $f(x)$ es perpendicular a la recta $x + 3y = 1$.

Estudiar derivabilidad de la siguiente función en todo su dominio, dando expresiones de la derivada donde exista $$f(x) = \begin{cases} \sen 2x + \frac{1}{3} \cdot e^{-2x}, & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{x + 1}{3} + \ln(x + 1), & \text{si } 0 < x < 2 \\ \sqrt{x^2 - 2x}, & \text{si } x \geq 2 \end{cases}$$

Dibuja y calcula el área de la región limitada por la recta $x + y = 7$ y la gráfica de la parábola $f(x) = x^2 + 5$. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).